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科氏流量计相位差估计的ap-Hilbert法

发布时间:2019-04-16 12:55:05 浏览:

0 引 言

科氏流量计通过检测流量管两端振动信号频率和相位差来计算时间差, 质量流量与时间差成正比, 从而实现流量的高精度计量[1,2,3]。相位差估计的精确性直接影响科氏流量计精度, 在诸如两相流、时变流等复杂流体特性和流量状态下, 对相位差估计方法的精确性、实时性提出了更高要求[4,5,6]

目前应用于科氏流量计相位差估计的方法较多, 归纳起来主要有过零检测法、互相关法、离散傅里叶变换 (discrete Fourier transform, DFT) 法、滑动Goertzel算法 (slide goertzel algorithm, SGA) 、负频率修正滑动离散时间傅里叶变化 (sliding discrete-time Fourier transform, SDTFT) 等[7,8,9,10,11]。其中, 过零检测法通过门电路或数字记录信号过零点, 由两过零点的时间间隔求得相位差, 易受噪声影响, 精度不高;互相关法通过两路信号的互相关运算实现相位差估计, 可显著降低随机噪声影响, 但非整周期相关时因频谱泄露而存在较大误差, 文献[12]通过数据对非整周期采样互相关进行了改进;DFT法利用最大谱线处相位相减获得相位差, 能利用快速傅里叶变换 (fast Fourier transform, FFT) , 运算效率高, 是最为常用的估计方法之一, 但存在频谱泄露影响估计精度的问题。SGA是一种只需计算少量频点处傅里叶系数的DFT递归方案, 计算量较小, 能连续输出估计相位, 但该方法收敛过程较长, 存在数值溢出的问题, 且需要预知信号频率。文献[13]提出的负频率修正SDTFT法是在DFT过程中不忽略负频率成分, 而得到的一种相位差估计方法, 可连续输出估计相位, 相较于SGA法该方法极大地缩短了收敛过程, 且不易发生数值溢出, 响应时间较快, 适用于时变相位差估计, 是当前科氏流量计相位差估计中性能最好的方法之一, 但仍然存在频谱泄露影响精度及需预知信号频率的问题。

针对SGA和负频率修正SDTFT法需预知信号频率的问题, 文献[14,15]提出了一种相位差估计的Hilbert法, 利用Hilbert变换分别得到两路原信号的共轭, 然后通过三角函数运算估计出相位差。该方法计算量小, 估计精度高, 并且可输出每个采样点估计结果, 特别适用于时变相位差估计。然而, 当信号非整周期采样时, Hilbert变换存在端点效应[16], 即原信号的共轭在端点处会发生变形, 在计算点数较少时更为明显, 从而影响了Hilbert法估计精度和实时性的同步提高。

本文针对Hibert法中存在端点效应影响估计精度的问题, 借鉴全相位傅里叶变换抑制谱泄漏的优势[17,18,19], 提出一种科氏流量计相位差估计的ap-Hilbert (all-phase Hilbert) , 先对采样信号进行全相位预处理, 然后再进行Hilbert变换和相位差估计计算。在分析端点效应的基础上, 给出方法原理、实现步骤, 对方法性能进行详细的对比实验分析。

1 端点效应

Hilbert变换实质是通过求取原实信号的正交共轭信号, 构造解析信号进行分析。对于实信号x (t) , 其Hilbert变换为:

xˆ(t)=1π∫+∞−∞x(τ)t−τdτ=1π∫+∞−∞x(t−τ)τdτ=x(t)⋅1πτ   (1)x^(t)=1π∫-∞+∞x(τ)t-τdτ=1π∫-∞+∞x(t-τ)τdτ=x(t)⋅1πτ(1)

共轭信号的构造方法如式 (2) 所示, 先对采样信号进行傅里叶变换, 然后将双边谱对折为单边谱, 再通过傅里叶逆变换获得共轭信号。对于非整周期采样的周期信号, 因频谱泄漏造成的误差在单边谱进行傅里叶逆变换时无法抵消, 误差反映在时域上即是共轭信号波形失真, 主要集中在信号两端, 即端点效应。

x(n)=⇒DFTX(k)=⇒DHTXˆ(k)=−isgn(N/2−k)sgn(k)X(k)=⇒=DFT−1xˆ(n)   (2)x(n)⇒DFΤX(k)⇒DΗΤX^(k)=-isgn(Ν/2-k)sgn(k)X(k)⇒DFΤ-1x^(n)(2)

对于幅值为A, 频率为f0的余弦信号:

x (t) =Acos (2πf0t) (3)

经过Hilbert变换后所得的解析信号理想形式为:

y=ej2πf0t=Acos (2πf0t) +iAsin (2πf0t) (4)

其中理想共轭信号应为H[x (t) ]=Asin (2πf0t) 。

图1所示为非整周期采样下Hilbert变换的端点效应, 其中x1x2分别为标准余弦和正弦信号, x2的共轭理应与x1完全重合, 但在两端处发生明显波形畸变。这将给后续相位差估计带来误差, 特别在参与计算的数据较少时, 端点效应的影响将更为严重。

图1 Hilbert变换端点效应

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Fig.1 The end distortion of Hilbert transform

2 方法原理

2.1 基本思想

针对Hilbert变换端点效应影响相位差估计精度的问题, 提出一种相位差估计的ap-Hilbert变换法, 其基本思想和流程如下:首先对两路采样信号分别进行全相位预处理, 即以中心样本点为参照, 对采样信号进行循环移位对齐并求和;然后对经过全相位预处理的采样信号进行Hilbert变换, 得到其共轭信号;最后利用全相位预处理信号及其共轭信号, 通过三角变换计算出相位差。图2所示为方法原理, 其中示例了4个采样点的全相位预处理过程。

图2 本文方法原理

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Fig.2 Schematic diagram of the proposed method

2.2 实现步骤

设科氏流量计的两路信号为含噪同频实正弦信号, 其离散采样信号为:

{x1(k)=A1sin(ω0k+φ1(k))+n1(k)x2(k)=A2sin(ω0k+φ2(k))+n2(k)   (5){x1(k)=A1sin(ω0k+φ1(k))+n1(k)x2(k)=A2sin(ω0k+φ2(k))+n2(k)(5)

式中:k=1, 2…;A1A2为信号幅值;φ1 (k) 、φ2 (k) 为时变相位;n1 (k) 、n2 (k) 为噪声;角频率ω0=2πf0/fs;f0fs分别为信号频率和采样频率。

根据上述基本思想, 本文方法具体实现步骤如下。

1) 采样信号全相位预处理

对离散采样信号x1 (k) 和x2 (k) 分别截取长度为2M-1的采样序列, 作为相位差计算的输入信号。

{x1(k)=[x1(1),x1(2),⋯,x1(M),⋯,x1(2M−1)]x2(k)=[x2(1),x2(2),⋯,x2(M),⋯,x2(2M−1)]   (6){x1(k)=[x1(1),x1(2),⋯,x1(Μ),⋯,x1(2Μ-1)]x2(k)=[x2(1),x2(2),⋯,x2(Μ),⋯,x2(2Μ-1)](6)

x1 (k) 和x2 (k) 分成M个长度为M的样本数据段, 并分别以和x2 (M) 为参照, 将每段数据循环移位对齐, 依次将x1 (M) 相对应的样本叠加后得到样本长度为M的样本y1 (m) 和y2 (m) , 两者样本点构成方式一样。以y1 (m) 为例, 其各样本点为:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y1(1)=M⋅x1(M)y1(2)=(M−1)⋅x1(M−1)+x1(2M−1)y1(3)=(M−2)⋅x1(M−2)+2x1(2M−2)⋮y1(M)=x1(1)+(M−1)⋅x1(M+1)   (7){y1(1)=Μ⋅x1(Μ)y1(2)=(Μ-1)⋅x1(Μ-1)+x1(2Μ-1)y1(3)=(Μ-2)⋅x1(Μ-2)+2x1(2Μ-2)⋮y1(Μ)=x1(1)+(Μ-1)⋅x1(Μ+1)(7)

样本y1 (m) 和y2 (m) 即为全相位预处理后的采样信号, 作为后续Hilbert变换和相位差计算的输入。

2) Hilbert变换

y1 (m) 和y2 (m) 进行Hilbert变换, 取解析信号的虚部, 获得y1 (m) 和y2 (m) 的共轭y^1 (m) 和y^2 (m) 。由于全相位预处理过程中, 综合考虑了信号截断的所有可能组合, 从而可以很好地抑制Hilbert变换端点效应带来的波形失真。

3) 相位差计算

全相位预处理过程实质是对采样序列进行重新排列组合, 并未改变信号周期性等性质, 因此仍可根据正切函数的和差公式来计算相位差, 相位差计算式为:

Δφ=φ2(k)−φ1(k)=arctan[y′1(k)y2(k)−y′2(k)y1(k)y1(k)y2(k)+y′1(k)y′2(k)]   (8)Δφ=φ2(k)-φ1(k)=arctan[y′1(k)y2(k)-y′2(k)y1(k)y1(k)y2(k)+y′1(k)y′2(k)](8)

此相位差计算式具有连续性和瞬态性, 能连续输出相位差, 且无需预知频率。

3 实验结果分析

根据科氏流量计信号特征, 利用MATLAB产生两路含加性白噪声的同频正弦信号, 频率f=198.7 Hz, 幅值A=0.32 mV, 信号相位差Δφ=0.031 4 rad≈1.8°, 信噪比SNR=50 dB, 采样频率fs=2 048 Hz

3.1 端点效应抑制效果分析

取采样长度N=100, 利用Hilbert法和ap-Hilbert估计出相位差, 图3所示为各采样点的估计方差σΔφ=[Δφˆ(k)]=[Δφˆ(k)−Δφ(k)]2σΔφ=[Δφ^(k)]=[Δφ^(k)-Δφ(k)]2。由图3可知, 受端点效应影响, Hilbert法在采样数据两端出现较大误差σΔφ>2×10-5, 而ap-Hilbert法在各采样点处均保持了较高精度σΔφ<0.5×10-5, 说明能够很好抑制端点效应。

图3 相位差估计的均方误差

图3 相位差估计的均方误差   下载原图

Fig.3 Mean square errors of phase difference estimation

3.2 不同采用长度的对比分析

在相同条件下, 取不同采样长度进行相位差估计, 估计结果的均方误差如图4所示。由图4可知, 在N>50时两种方法精度接近, 而当N<50时, Hilbert法均方误差明显大于ap-Hilbert法;在N≈180附近, ap-Hilbert法精度出现波动, 主要因为接近整周期采样。

图4 不同采用长度的相位差估计

图4 不同采用长度的相位差估计   下载原图

Fig.4 Phase difference estimation with different length N

3.3 不同信噪比的对比分析

相同条件下, 设置不同信噪比进行相位差估计, 结果如图5所示。由图5可知, 当信噪比低于10 dB时, Hilbert法和ap-Hilbert法均有较大的均方误差, 而在SNR>10 dB时均方误差较小, 说明本文方法主要适用于较高信噪比条件。以F200S型科氏流量计为例, 实验检测其振动信号信噪比约为50 dB (>10 dB) , 因此认为本文方法适用于科氏流量计信号处理。

图5 不同信噪比的相位差估计

图5 不同信噪比的相位差估计   下载原图

Fig.5 Phase difference estimation with different single noise ratio

3.4 恒定相位差的对比分析

设置信噪比为40 dB, 保持其他参数不变, 生成具有不同相位差的仿真信号。Hilbert法和ap-Hilbert法的相位差估计结果如图6所示, 在90°<Δφ<180°时, 两种方法均方差值大于Δφ<90°的情况;Δφ≈90°时, 均方差趋于极大值, 这是由于90°的正切值为无穷大;此外, 在Δφ≈20°和Δφ≈160°时, Hilbert法均方差显著增大, 而ap-Hilbert法无变化, 说明ap-Hilbert法的稳定性和优越性。

图6 相位差估计的均方差

图6 相位差估计的均方差   下载原图

Fig.6 Mean square errors of phase difference estimation

考虑到科氏流量计信号相位差一般较小, 在Δφ∈[0.009 °, 1.8°]内没间隔π/1 000进行一次仿真测试, 相位差估计均方差如图7所示。两种方法均方差约为0.5×10-3, 其中Hilbert法略大于ap-Hilbert法。从而, 可认为本文提出的ap-Hilbert法在相位差较小时具有较高精度。

图7 小相位差估计的均方差

图7 小相位差估计的均方差   下载原图

Fig.7 Mean square errors of small phase difference estimation

3.5 时变相位差的对比分析

在文献[20,21]的基础上, 本文对科氏流量计时变信号进行改进, 模型描述如下:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x(k)=A(k)sin[ω(k)+φ(k)]+n(k)A(k)=A(k−1)+δAσAeA(k)ω(k)=ω(k−1)+δωσωeω(k)φ(k)=φ(k−1)+δφσφeφ(k)   (9){x(k)=A(k)sin[ω(k)+φ(k)]+n(k)A(k)=A(k-1)+δAσAeA(k)ω(k)=ω(k-1)+δωσωeω(k)φ(k)=φ(k-1)+δφσφeφ(k)(9)

式中:n (k) 为高斯白噪声、nA (k) 、nω (k) 和nφ (k) 为服从正态分布的白噪声, 噪声间互不相关;游动因子δAδωδφ分别服从概率为PAPωPφ的0~1分布, 决定幅度、频率、相位是否游动, σAσωσφ决定游动幅度。P→0时退化为时不变模型, P→1时参数每点变化, 当P很小而游动幅度较大时, 可改变nA (k) 、nω (k) 和nφ (k) 均值, 模拟不同流量的科氏流量计信号。

根据科氏流量计信号模型, 生成两路信号相位差随机变化的仿真信号。设置参数如下:初始幅值A (0) =0.32, 初始频率ω (0) =0.314 2, σe=0.6, σA=10-3σω=10-5σφ=10-5, 考虑一般情况, 设游动概率PA=Pω=Pφ=0.5。单次仿真采样20 000点, 采样频率fs=2 000 Hz

利用SGA和负频率修正DTFT法进行对比分析。因SGA和负频率修正DTFT需预知信号频率, 比较实验中利用格型自适应陷波滤波器 (adaptive notch filterANF) 进行频率估计。图8所示为相位差跟踪结果, 图9所示为相位差估计的相对误差结果, 表1所示为3种算法的均方误差、相位对误差的均值。

图8 随机时变相位差跟踪结果

图8 随机时变相位差跟踪结果   下载原图

Fig.8 Results of stochastic and time-varying phase difference tracking

图9 随机时变相位差估计的相对误差

图9 随机时变相位差估计的相对误差   下载原图

Fig.9 Relative error of stochastic and time-varying phase difference tracking

表1 随机时变相位差估计的误差均值 导出到EXCEL

Table 1 Mean error of stochastic and timevarying phase difference estimation


误差
SGA 负频率修正DTFT ap-Hilbert

均方误差
1.050 5×10-5 1.936 6×10-6 6.967 0×10-7

相对误差
1.793 1 0.889 2 0.009 9

对于随机时变相位差, 3种方法均能进行较精确地估计, 但3种方法仍存在明显的精度差异, 其中ap-Hilbert法的精度最高, 高出负频率修正SDTFT法1个数量级、高出SGA法2个数量级。由图9可以看出, ap-Hilbert法在各个采样时刻始终保持很高的估计精度, 而负频率修正SDTFT和SGA估计精度存在波动。

3.6 应用实验

为进一步验证本文方法的实际效果, 利用图10所示的科氏流量计实验装置开展应用实验, 图11所示为实验装置实物图。实验装置包括F200S (配1700型变送器, 带MVD技术) 和TQ884 (配ERE10型变送器) 2台科氏流量计, 利用ZJKV型球阀控制流量, 用FS3198电子台秤作为流量标定, 其测量范围0~1 000 kg, 测量精度±0.01 kg。实验装置利用数字化油库实验室水循环系统, 通过管道泵供水。利用NI-9234采集传感器输出信号, 采样频率为20 kHz, 研华4711数据采集卡采集两款流量计的变送器显示流量和电子秤累积流量。分别在平稳流量和时变流量2种状态下进行实验。

图10 科氏流量计实验装置结构

图10 科氏流量计实验装置结构   下载原图

Fig.10 Structure of CMF experiment device

图11 科氏流量计实验装置实物

图11 科氏流量计实验装置实物   下载原图

Fig.11 Physical map of CMF experiment device

根据科氏流量计原理, 质量流量与时间差成正比, 即:

qˆm=k⋅Δt+b   (10)q^m=k⋅Δt+b(10)

式中:时间差Δt=Δφ/ (2πf) , kb是与流量计型号、仪表结构等有关的系数, 一般由出厂时标定。

为此, 应用实验中, 在平稳流量下利用累计流量和时间差的线性关系, 通过线性回归获得系数kb;对于时变流量, 利用平稳流量下标定的系数kb, 根据估计相位差直接计算出时变瞬态流量与流量计配套变送器实时流量进行对比分析。

仍然以SGA法和负频率修正SDTFT法作为对照, 频率估计均采用一种反馈修正自适应显波器。图12所示为SGA、负频率修正SDTFT及本文ap-Hilbert法估计时间差与质量流量的线性回归。表2所示为在显著性α=0.01的情况下3种方法回归参数。

图12 时间差与质量流量的线性回归

图12 时间差与质量流量的线性回归   下载原图

Fig.12 Linear regression curves of the time difference and the mass flow

表2 线性回归方差分析 导出到EXCEL

Table 2 Variance analysis of linear regression (α=0.01)


方法

qm=kΔt+b
回归平
方和U
残余平
方和Q
方差
σ2=Q/ (N-2)
F=U (N-2) /Q

k
b
SGA 70.566 3 1.435 7 1.46×104 101.35 16.89 862.74

SDTFT
71.680 4 -1.215 7 1.47×104 12.64 2.11 6.96×103

apHilbert
69.660 6 -0.952 7 1.46×104 7.49 1.25 8.29×103

从图12和表2可以看出, 3种方法估计的相位差与质量流量均呈显著线性关系, 能有效检测质量流量;从线性回归的方差分析来看, 在显著性α=0.01的情况下, SGA估计的残余平方和与方差最大, 负频率修正SDTFT次之, 本文ap-Hilbert法最小, 即验证了本文方法的精确性和实用性。

利用电动阀控制管道流量, 进行时变流量检测分析。以平稳流量下校定的流量系数k^b^作为3种方法各自计算依据。图13所示为开阀过程中流量由0到105.2 kg/min的瞬时检测结果。由图13可见, F200S型流量计的较TQ884型流量计有更快的响应速度, 本文ap-Hilbert法与负频率修正SDTFT响应速度相当, 快于两款流量计产品;而SGA法因为存在数值溢出的问题而变得不可用。从而验证了本文方法在实际应用的可行性和优越性。

图13 时变流量测量结果 (0~105.2 kg/min)

图13 时变流量测量结果 (0~105.2 kg/min)   下载原图

Fig.13 Measurement results of time-varying flow (0~105.2 kg/min)

4 结 论

针对科氏流量计相位差估计的SGA、负频率修正DTFT法等精度不高, 受谱泄漏影响且依赖信号频率的问题, 本文在Hilbert变换的基础上, 利用全相位的谱泄漏抑制性能, 提出一种相位差估计的ap-Hilbert法, 给出了方法原理、实现步骤, 通过仿真和应用试验对比分析了方法性能。实验结果表明:本文方法有效克服了Hilbert变换的端点效应, 在采样信号较短时具有明显比较优势;对于随机时变相位差, 动态跟踪能力与负频率修正SDTFT法相当, 显著高于SGA法;估计均方误差较SGA低近2个数量级, 约为负频率修正SDTFT法的0.35, 较大提高了相位差估计精度;应用实验验证了本文方法有效性、可行性和优越性。